Ellipsoïde de révolution

En mathématiques, un ellipsoïde de révolution, ou sphéroïde, est une surface de révolution obtenue par rotation dans l'espace d'une ellipse autour de l'un de ses axes de symétrie. Comme tout ellipsoïde, il s'agit d'une surface quadrique, c'est-à-dire qu'elle est décrite par une équation de degré 2 en chaque coordonnée dans un repère cartésien. L'expression peut aussi parfois désigner le volume borné délimité par cette surface, notamment pour décrire des objets physiques tels que la Terre ou des noyaux atomiques. Un ellipsoïde de révolution peut être : allongé (ou oblong ou prolate) si l'axe de rotation est l'axe principal (ou grand axe) de l'ellipse, ce qui lui donne une forme de ; aplati (oblate) dans le cas contraire (comme par exemple la surface de la Terre, approximativement) ; sphérique, dans le cas particulier où l'ellipse génératrice est un cercle. Dans un plan de coupe contenant l'axe de rotation, la trace de l'ellipsoïde est une ellipse paramétrée en coordonnées cylindriques par un angle au centre θ variant entre 0 et 2π sous la forme : où p est le rayon polaire (longueur du demi-axe de rotation) et q le rayon équatorial de l'ellipsoïde. L'ellipsoïde de révolution est donc paramétré en coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormal approprié par : où l'angle de rotation φ varie entre 0 et π. Cette paramétrisation n'est pas unique. Une paramétrisation équivalente, mais qui rend justice à la symétrie de révolution autour de l'axe Oz et à la symétrie par rapport au plan xOy, prend θ compris entre −π/2 et +π/2, et φ entre 0 et 2π ou −π et +π. La paramétrisation proposée ci-dessus fournit l'équation cartésienne : qui montre que l'ellipsoïde de révolution est une surface quadrique. Avec ces notations, un ellipsoïde de révolution apparaît comme l'image d'une sphère de rayon q par une affinité de rapport p/q parallèlement à l'axe de rotation. Le volume intérieur délimité par un ellipsoïde de révolution s'obtient comme cas particulier du volume d'un ellipsoïde quelconque : où p est le rayon polaire et q le rayon à l'équateur.

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