Théorie de la réponse linéaire
En physique statistique hors d'équilibre, la théorie de la réponse linéaire permet de définir les susceptibilités et les coefficients de transport d'un système au voisinage de l'équilibre thermique indépendamment des détails du modèle. La théorie de la réponse linéaire a été développée dans les années 1950 par Melville Green, Herbert Callen et Ryōgo Kubo. Dans la théorie de la réponse linéaire, on suppose que le système considéré est décrit par un certain hamiltonien d'équilibre , perturbé par un hamiltonien perturbatif dépendant du temps , qu'on peut expliciter sous la forme: ou les sont les facteurs perturbatifs et les opérateurs hermitiens sont des observables du système, de sorte que le hamiltonien total du système est: Il en ressort que le formalisme naturel d'un système en réponse linéaire est la représentation d'interaction. La matrice densité est affectée par la perturbation du hamiltonien. Pour la matrice densité, l'équation de Schrödinger s'écrit: Ceci n'est pas une équation de Heisenberg et la matrice densité n'est pas un opérateur de mesure (voir le signe du commutateur pour s'en convaincre). Si nous baptisons la matrice densité du système non perturbé (c’est-à-dire du système à l'équilibre thermique), la matrice densité du système perturbé (c’est-à-dire du système hors équilibre), l'écart de la matrice densité du système perturbé calculé au premier ordre de perturbation, l'équation de la matrice densité se réduit à : d'où la solution: ce qui permet d'accéder à . En calculant au premier ordre de la théorie des perturbations on obtient la matrice densité du système. Cette matrice peut être utilisée pour extraire les moyennes thermiques et quantiques des observables : En dernier ressort, en introduisant la fonction de réponse retardée les observables du système sont données par : Où on identifie la fonction de réponse par : où est la fonction de Heaviside (qui traduit ici le principe de causalité), les sont les opérateurs d'évolution dans la représentation de Heisenberg, et la moyenne est prise avec la matrice densité d'équilibre .