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Concept
Fonction logistique (Verhulst)
Résumé
En mathématiques, les fonctions logistiques sont les fonctions ayant pour expression
où et sont des réels positifs et un réel quelconque.
Ce sont les solutions en temps continu du modèle de Verhulst.
Pour , leur courbe représentative a la forme d'un S ce qui fait qu'elles sont parfois appelées sigmoïdes. Ces fonctions ont été mises en évidence (vers 1840) par Pierre-François Verhulst, qui cherchait un modèle d'évolution non exponentielle de population comportant un frein et une capacité d'accueil . Mais elles servent aussi à modéliser des réactions autocatalytiques, leur courbe portant alors le nom de courbe autocatalytique. Le nom de courbe logistique leur a été donné par Verhulst sans que l'on sache exactement pourquoi. Il écrit en 1845 dans son ouvrage consacré à ce phénomène : . L'auteur n'explique pas son choix mais « logistique » a même racine que logarithme et logistikos signifie « calcul » en grec.
Les fonctions logistiques sont initialement créées par Pierre François Verhulst. Chargé par son professeur Adolphe Quetelet d'étudier un modèle d'évolution de population qui ne soit pas exponentiel, il propose en trois publications (1838, 1845 et 1847) un nouveau modèle tenant compte d'un frein dans le développement de la population et prouve que ce modèle est cohérent avec l'évolution de la population en Belgique et en France jusqu'en 1833. C'est dans la publication de 1845 qu'il nomme cette courbe « logistique » sans donner l'explication de ce terme. Utilisant les données fournies sur la population de la Belgique en 1815, 1830 et 1845, il détermine les trois paramètres de la fonction logistique qui correspondrait à cette évolution de la population et estime, à immigration nulle, la population seuil en Belgique à 6,6 millions d'habitants (population en 2006 : 10,5 millions).
La courbe logistique, utilisée dans l'étude des populations est redécouverte en 1920 par les statisticiens et biologistes Raymond Pearl et Lowell Jacob Reed qui ne créditent Verhulst de la paternité de la découverte qu'en 1922.
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