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Concept
Produit de Cauchy
Résumé
En analyse, le produit de Cauchy est une opération portant sur certaines séries. Il permet de généraliser la propriété de distributivité. Son nom est un hommage à l'analyste français Augustin Louis Cauchy. Il s'agit d'un produit de convolution discret.
Une écriture particulière des coefficients du produit de polynômes permet de comprendre l'introduction de la formule du produit de Cauchy. Soient deux polynômes à coefficients complexes P et Q donnés par leur décomposition dans la base canonique
où les coefficients de P et de Q sont nuls à partir d'un certain rang. Alors leur produit se décompose comme
La réindexation nécessaire ne pose pas de difficulté puisque la somme est finie.
Le produit de Cauchy de deux séries et de nombres complexes est la série de terme général
Sous des hypothèses convenables sur les deux séries et , leur produit de Cauchy converge, et l'on peut écrire la formule de distributivité généralisée
Un cas particulier trivial est celui où les séries sont toutes les deux à termes nuls à partir d'un certain rang : dans ce cas, les sommes sont finies et il suffit d'utiliser le résultat du paragraphe précédent en évaluant les polynômes en 1.
En revanche, le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas toujours convergent. Par exemple, le produit de Cauchy par elle-même de la série a pour terme général
Or k(n – k) ≤ (n – 1), si bien que c ≥ 1 ; la série est donc grossièrement divergente.
Il peut aussi arriver que et divergent et que soit absolument convergente. Par exemple, le produit de Cauchy des séries 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... et 1 – 2 + 2 – 2 + 2 – ... est la série nulle (pour d'autres exemples, voir le § ci-dessous sur les séries entières).
Lorsque les séries et sont toutes deux absolument convergentes, leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée est vérifiée. Il suffit en effet d'utiliser les propriétés de commutativité et d'associativité des familles sommables.
Source officielle
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