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Concept
Transformation de Fourier discrète
Résumé
En mathématiques, la transformation de Fourier discrète (TFD) sert à traiter un signal numérique. Elle constitue un équivalent discret (c'est-à-dire pour un signal défini à partir d'un nombre fini d'échantillons) de la transformation de Fourier (continue) utilisée pour traiter un signal analogique. Plus précisément, la TFD est la représentation spectrale discrète dans le domaine des fréquences d'un signal échantillonné.
La transformation de Fourier rapide est un algorithme particulier de calcul de la transformation de Fourier discrète.
La transformation de Fourier discrète d'un signal de échantillons est le vecteur défini par :
On obtient ainsi une représentation spectrale discrète du signal échantillonné .
La TFD ne calcule pas le spectre continu d'un signal continu. Elle permet seulement d'évaluer une représentation spectrale discrète (spectre échantillonné) d'un signal discret (signal échantillonné) sur une fenêtre de temps finie (échantillonnage borné dans le temps).
L'exemple ci-dessous peut laisser croire que la TFD permet de calculer le spectre d'un signal continu, mais cela n'arrive que lorsque la fenêtre d'échantillonnage correspond à un multiple strictement supérieur à deux fois la période du signal échantillonné (dans ce cas on a forcément évité le repliement de spectre, c'est le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon) :
thumb|center|600px|Figure 1 : Transformée de Fourier discrète sur N = 64 points d'un sinus de fréquence échantillonné à échantillons par seconde ().
La transformation de Fourier discrète inverse est donnée par :
En fait, il existe plusieurs définitions de la transformation de Fourier discrète et son inverse, qui différent par le facteur multiplicatif. On peut tout à fait normaliser la TFD par , et ne pas normaliser la TFD inverse, ou encore normaliser les deux par , le but étant dans tous les cas de retrouver le signal originel par la TFD inverse de sa TFD.
On peut remarquer que ce signal est périodique de période , et renseigne sur les fréquences comprises entre et (où est la fréquence d'échantillonnage, souvent notée dans la littérature anglo-saxonne).
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