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Concept
Matrice circulante
Résumé
vignette|Exemple de matrice circulante avec les éléments représentés par des couleurs
En algèbre linéaire, une matrice circulante est une matrice carrée dans laquelle on passe d'une ligne à la suivante par permutation circulaire (décalage vers la droite) des coefficients.
Une matrice circulante de taille n est donc de la forme
où les coefficients ci sont des complexes.
Une matrice circulante constitue un cas particulier de matrice de Toeplitz, de matrice de Frobenius (c'est la matrice générique de la multiplication par un élément de l'algèbre de groupe C[Z/nZ] et aussi un cas particulier de carré latin).
La réduction des matrices circulantes fait intervenir les formules de la transformation de Fourier discrète.
En analyse numérique, les systèmes circulants peuvent être résolus très efficacement par transformée de Fourier rapide.
On parle parfois de matrice anticirculante ou circulante gauche quand on effectue un décalage à gauche des coefficients en passant d'une ligne à la suivante.
Pour alléger les notations, on désigne par C(c, ... , c) la matrice circulante précédente.
En notant
on peut constater que toute matrice circulante est un polynôme en J
Réciproquement, comme J est la matrice identité, tout polynôme en J est une matrice circulante.
Ainsi la somme, le produit de matrices circulantes sont circulantes, et un tel produit est commutatif. L'ensemble des matrices circulantes n'est autre que l'algèbre commutative des polynômes en J.
La matrice J, vérifiant J = I, est diagonalisable sur C avec pour valeurs propres des racines n-ièmes de l'unité.
On appelle donc , racine primitive de l'unité. On vérifie alors sans peine que pour tout k:
est vecteur propre de J associé à la valeur propre ω.
On a donc exhibé, pour k allant de 0 à n – 1, une famille de n vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, soit une base propre pour J.
Par conséquent, c'est une base propre aussi pour tout polynôme en J, c'est-à-dire toute matrice circulante. Les valeurs propres de C(c, ...
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