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Concept
Égalité (mathématiques)
Résumé
vignette|"Signe égal" exprimant l'égalité entre deux expressions.
En mathématiques, l’égalité est une relation binaire entre deux objets signifiant que ces objets sont identiques, c’est-à-dire que le remplacement de l’un par l’autre dans une expression ne change jamais la valeur de cette dernière.
Une égalité est une proposition pouvant s’écrire à l’aide du signe égal « = », séparant deux expressions mathématiques de même nature (nombres, vecteurs, fonctions, ensembles...) ; la négation de cette proposition s’écrit à l’aide du symbole « ≠ ».
Le symbole « = » peut apparaître dans un prédicat, une définition ou une équation :
Dans le premier cas, les expressions égalées ne comprennent que des variables précédemment définies ou introduites par un quantificateur extérieur, comme dans l'identité remarquable :
pour tous et réels, on a .
Dans le cas d'une définition de notation, une ou plusieurs nouvelles variables apparaissent dans l'égalité (en général dans le membre de gauche) et pourront être utilisées par la suite dans le raisonnement, comme dans l'exemple suivant où les variables , et sont supposées déjà définies :
on note .
On parle alors d'affectation, lorsque le membre de droite n'est pas réduit à une unique variable, ou bien de renommage dans le cas contraire.
Dans les deux cas, on rencontre parfois la notation comme suit : .
Dans le cas d'une équation, une ou plusieurs variables appelées « inconnues » sont contraintes à ne prendre que certaines valeurs appelées « solutions ». Dans d'autres sciences, le terme « équation » peut cependant être utilisé pour affirmer une relation entre des grandeurs sans que ces grandeurs ne soient nécessairement considérées comme inconnues.
Le symbole « = » est parfois utilisé en mathématiques pour d'autres usages que l'égalité :
En analyse, la notation de Landau u = O(v) (resp. o(v)) signifie que la suite u est dominée par la suite v (resp. négligeable devant la suite v). Ce n'est pas à proprement parler une égalité puisque la notation O(v) (resp.
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