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Concept
Sommation de Ramanujan
Résumé
vignette|redresse=2|alt=Photographie noir et blanc d'un texte manuscrit, formant une démonstration mathématique.|Une sommation de Ramanujan, dans son premier cahier, montrant pourquoi la somme de tous les entiers est égale à -1/12.
En analyse, la sommation de Ramanujan est une technique inventée par le mathématicien Srinivasa Ramanujan pour donner une valeur aux séries infinies divergentes. Bien que la sommation de Ramanujan pour des séries divergentes ne soit pas une somme dans son sens traditionnel, elle possède des propriétés qui la rendent mathématiquement valide dans l'étude des séries divergentes, pour lesquelles le résultat de la méthode de sommation habituelle n'est pas défini.
La sommation de Ramanujan est essentiellement une propriété des sommes partielles plutôt que de la somme totale, puisque cette dernière n'existe pas. Si l'on considère la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme sommatoire utilisant les nombres de Bernoulli, on obtient :
Ramanujan a écrit, dans le cas où p tend vers l'infini :
où C est une constante spécifique à cette fonction et son prolongement analytique (les limites de l'intégrale n'ont pas été fournies par Ramanujan, mais les valeurs rajoutées ci-dessus sont très probables). En comparant les deux formules et en supposant que R tend vers 0 quand x tend vers l'infini, on déduit dans le cas général, pour les fonctions f(x) non divergentes en x = 0 :
là où Ramanujan supposait que a = 0. En choisissant a = ∞, on retrouve la sommation habituelle pour les séries convergentes. Pour les fonctions f(x) non divergentes en x = 1, on obtient :
C(0) a alors été proposé comme valeur de la somme de la série divergente. Elle relie la sommation à l'intégration.
La version convergente de sommation, pour les fonctions possédant la bonne condition de croissance, est alors :
Par la suite, indique une sommation de Ramanujan. Cette notation vient de l'un des carnets de Ramanujan, sans aucune indication disant que c'est une nouvelle méthode de sommation.
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