Concept

Topologie induite

Résumé
En mathématiques, la topologie induite est une topologie définie sur toute partie Y d'un espace topologique X : c'est la trace sur Y de la topologie sur X. Autrement dit, l'ensemble des ouverts de Y (muni de la topologie induite) est : {O⋂Y | O ouvert de X}. Ou encore : les voisinages dans Y d'un point sont les traces sur Y de ses voisinages dans X. On dit alors que Y est un sous-espace de X. La topologie induite est souvent sous-entendue dans les énoncés de topologie : par exemple, lorsque l'on a un espace topologique X donné, une partie Y de X sera dite compacte si elle est compacte pour la topologie induite par X sur Y. Remarques
  • Si un ouvert O de X est inclus dans Y, alors O est un ouvert de Y pour la topologie induite (de même, tout fermé de X inclus dans Y est fermé dans Y).
  • Un ouvert de Y pour la topologie induite n'est pas forcément ouvert pour la topologie de X. De même, un fermé de Y n'est pas toujours fermé dans X. Par exemple, si X = ℝ muni de sa topologie
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