Concept

Convergence simple

Résumé
En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas. Exemple Illustrons la convergence simple sur la suite (f_n)_{n\in\N} de fonctions continues f_n définie par f_n(x) = sin^n(x) pour tout x entre 0 et \pi. Quand x \neq \frac \pi 2, 0 \leq sin(x) < 1 et donc f_n(x) = sin^n(x) converge vers 0 quand n tend vers l'infini. Pour x = \frac \pi 2, on a f_n(x) = sin^n(x) = 1, qui converge vers 1 quand n
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