En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, ainsi nommée en l'honneur d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), ou formule de convolution, affirme que, pour des entiers naturels , on a
où les nombres , avec , sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que si (le point d'exclamation « ! » désignant la factorielle) et si .
Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour .
La formule peut être démontrée de façon algébrique, en utilisant la formule du binôme pour développer de deux façons l'identité polynomiale
puis en identifiant les coefficients.
Une preuve par double dénombrement est aussi possible : les deux expressions correspondent à deux façons de dénombrer les parties à éléments de E ∪ F, où E et F sont deux ensembles disjoints fixés, de cardinaux respectifs et .
Les ensembles E et F précédents sont modélisés par une urne contenant boules rouges et boules bleues. On effectue un tirage sans remise de boules. On demande la loi de probabilité du nombre de boules rouges ; la réponse est (il s'agit de la loi hypergéométrique).
L'identité de Vandermonde s'interprète alors comme le fait que la somme de ces probabilités est égale à 1.
L'identité de Chu-Vandermonde — du nom de Vandermonde et du mathématicien chinois Zhu Shijie (environ 1260 - environ 1320) — généralise l'identité de Vandermonde à des valeurs non entières (en utilisant la définition générale des coefficients binomiaux) :
qui vient d'une réécriture de la « formule du binôme pour les factorielles décroissantes » établie par Vandermonde, exprimant que la suite des polynômes est de type binomial :
L'identité de Chu-Vandermonde est vraie pour tous nombres complexes s et t.
Elle est elle-même un cas particulier du théorème hypergéométrique de Gauss qui affirme que
où F est la fonction hypergéométrique et Γ est la fonction gamma. Il suffit de prendre a = –n et d'appliquer l'identité
à plusieurs reprises.
q-analogue de l'identité de Vand
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En mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. On les note - qui se lit « k parmi n » - ou , la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison » Les coefficients binomiaux s'expriment à l'aide de la fonction factorielle : Ils interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc.
En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, ainsi nommée en l'honneur d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), ou formule de convolution, affirme que, pour des entiers naturels , on a où les nombres , avec , sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que si (le point d'exclamation « ! » désignant la factorielle) et si . Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour .