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Concept
Champ libre gaussien
Résumé
En théorie des probabilités et en mécanique statistique, le champ libre gaussien (CLG) est un modèle incontournable de surfaces aléatoires. Il est le point de départ de nombreuses constructions en théorie quantique des champs. Une propriété clé du CLG bidimensionnel est l'invariance conforme, qui le relie de plusieurs manières à l'évolution de Schramm-Loewner.
vignette|Cette figure montre une réalisation du champ libre gaussien discret défini sur les sommets d'une grille carrée de 60 par 60, avec des conditions aux bords nulles. Les valeurs du champ sur les sommets sont interpolées linéairement pour donner une fonction continue.
Soit un graphe fini, simple et non-orienté avec pour ensemble de sommets et pour ensemble d'arêtes . Pour toute arête nous est donné un nombre réel strictement positif . Soit un sous-ensemble de sommets. Par définition, un champ libre gaussien sur avec bord est un vecteur aléatoire dans dont la loi a une densité proportionnelle à par rapport à la mesure de Lebesgue.
Plus précisément, cela signifie que pour tous intervalles de on a où .
Si est un CLG sur avec bord alors pour tout , presque sûrement. Il faut voir l'ensemble comme le bord de l'ensemble et la condition de nullité au bord peut être vue comme une condition de type Dirichlet.
Les quantités sont des nombres strictement positifs (éventuellement plus grand que 1) qui doivent être vus comme des poids sur les arêtes du graphe.
L'existence d'un CLG n'est pas toujours assurée. Elle l'est si par exemple chaque composante connexe de contient un élément du bord . La justification de son existence peut alors passer par des arguments probabilistes, et plus précisément par la fonction de Green d'une chaine de Markov sur .
Le fait que le champ libre gaussien soit un champ gaussien n'est pas évident avec la définition précédente, mais peut se voir à travers la construction par la fonction de Green.
On suppose ici que chaque composante connexe de contient un élément du bord . Pour prouver l'existence du CLG sur avec bord , on construit explicitement un champ aléatoire satisfaisant la propriété voulue.
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