MATH-434: Lattice models

Résumé

Lattice models consist of (typically random) objects living on a periodic graph. We will study some models that are mathematically interesting and representative of physical phenomena seen in the real world.

Source officielle

https://edu.epfl.ch/coursebook/fr/lattice-models-MATH-434

Page Moodle

http://go.epfl.ch/MATH-434

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Enseignant

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Cours associés (13)

Marche aléatoire

En mathématiques, en économie et en physique théorique, une marche aléatoire est un modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche au hasard, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres ; cette dernière propriété, fondamentale, est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien Markov.

Champ libre gaussien

En théorie des probabilités et en mécanique statistique, le champ libre gaussien (CLG) est un modèle incontournable de surfaces aléatoires. Il est le point de départ de nombreuses constructions en théorie quantique des champs. Une propriété clé du CLG bidimensionnel est l'invariance conforme, qui le relie de plusieurs manières à l'évolution de Schramm-Loewner. vignette|Cette figure montre une réalisation du champ libre gaussien discret défini sur les sommets d'une grille carrée de 60 par 60, avec des conditions aux bords nulles.

Modèle d'Ising

Le modèle d'Ising est un modèle de physique statistique qui a été adapté à divers phénomènes caractérisés par des interactions locales de particules à deux états. L'exemple principal est le ferromagnétisme pour lequel le modèle d'Ising est un modèle sur réseau de moments magnétiques, dans lequel les particules sont toujours orientées suivant le même axe spatial et ne peuvent prendre que deux valeurs. Ce modèle est parfois appelé modèle de Lenz-Ising en référence aux physiciens Wilhelm Lenz et Ernst Ising.

Théorie des graphes

vignette|Un tracé de graphe. La théorie des graphes est la discipline mathématique et informatique qui étudie les graphes, lesquels sont des modèles abstraits de dessins de réseaux reliant des objets. Ces modèles sont constitués par la donnée de sommets (aussi appelés nœuds ou points, en référence aux polyèdres), et d'arêtes (aussi appelées liens ou lignes) entre ces sommets ; ces arêtes sont parfois non symétriques (les graphes sont alors dits orientés) et sont alors appelées des flèches ou des arcs.

Lexique de la théorie des graphes

NOTOC Acyclique graphe ne contenant pas de cycle. Adjacence une liste d'adjacence est une structure de données constituée d'un tableau dont le -ème élément correspond à la liste des voisins du -ème sommet. Adjacence une matrice d'adjacence est une matrice carrée usuellement notée , de dimensions , dont chaque élément est égal au nombre d'arêtes incidentes (ayant pour extrémités) aux sommets d'indices et (pour un graphe simple non pondéré, ). Dans le cas d'un graphe pondéré, chaque élément est égal à la somme du poids des arêtes incidentes.