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Concept
Fonction W de Lambert
Résumé
vignette|Les deux branches de la fonction de Lambert sur l'ensemble ]–1/e , +∞[.
En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe f définie par f(w) = w e, c'est-à-dire
que pour tous nombres complexes z et w, nous avons :
Puisque la fonction f n'est pas injective, W est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles . Une des branches, la branche principale, W peut être prolongée analytiquement en dehors de ]−∞, –1/e]. Pour tout nombre complexe z ∉ ]−∞, –1/e], on a :
La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.
Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758, ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783 qui discutait le cas particulier de w e.
La première description de la fonction W
semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990. Lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales — un problème physique fondamental —, Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques.
vignette|upright=1.5|La partie supérieure de la courbe (y > −1) est la branche W ; la partie inférieure (y < −1) est la branche W définie pour x < 0.
Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −1/e, il existe une fonction et une seule W à valeurs réelles telle que
c'est la branche principale de W dans ce domaine. La représentation graphique de W figure à droite.
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