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Concept
Algèbre de Jordan
Résumé
En algèbre générale, une algèbre de Jordan est une algèbre sur un corps commutatif, dans laquelle l'opération de multiplication interne, a deux propriétés :
elle est commutative, c’est-à-dire que
elle vérifie l'identité suivante, dite identité de Jordan : .
Une algèbre de Jordan n'est donc pas associative en général ; elle vérifie toutefois une propriété d’associativité faible, car elle est à puissances associatives et satisfait d’office à une généralisation de l'identité de Jordan : en notant simplement le produit de m termes , on a, pour tous les entiers positifs m et n, .
Ce type de structure a été introduit dans un cas particulier par Pascual Jordan en 1933, afin de mieux décrire les propriétés algébriques utiles en mécanique quantique. Jordan désignait cette structure simplement par l'expression « système de r-nombres ». Le nom de « algèbre de Jordan » fut proposé en 1946 par A. Adrian Albert, qui initia l'étude systématique des algèbres de Jordan générales.
Les algèbres de Jordan et leurs généralisations interviennent maintenant dans de nombreux domaines des mathématiques : groupes et algèbres de Lie, géométrie différentielle, géométrie projective, physique mathématique, génétique mathématique, optimisation, etc.
L’espace vectoriel des matrices n×n à coefficients dans le corps R des nombres réels devient avec le produit usuel des matrices une algèbre associative ; mais cette algèbre n’est pas commutative en général. En revanche, on peut munir cet espace vectoriel d’un autre produit interne, qui en fait une algèbre de Jordan.
Pour M et N deux matrices, notons simplement MN leur produit usuel. On définit alors le nouveau produit, noté , et souvent appelé « produit de Jordan » de la manière suivante :
Autrement dit, il s’agit de remplacer le produit usuel des matrices par une version symétrisée. Cette loi n’est pas associative en général ; en revanche elle vérifie les deux propriétés souhaitées pour obtenir une algèbre de Jordan. La commutativité du produit, , est immédiate sur la définition même.
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