Module de continuité

En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction ω : [0, ∞] → [0, ∞] utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction f : I → R admet ω pour module de continuité si et seulement si Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité. Le module ω(t) := kt correspond aux fonctions k-lipschitziennes et le module ω(t) := kt aux fonctions höldériennes. En général, le rôle de ω est de fixer une dépendance fonctionnelle explicite de ε en δ dans la définition de la continuité uniforme. Un cas particulier est celui des modules de continuité concaves. Pour une fonction entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité concave, sous-additif, uniformément continu ou sous-linéaire (au sens de croissance linéaire). L'existence de tels modules de continuité pour une fonction uniformément continue est assurée dès que son domaine est soit compact, soit un sous-ensemble convexe d'un espace normé. Une fonction uniformément continue sur un espace métrique admet un module de continuité concave si et seulement si les quotients d(f(x), f(y))/d(x, y) sont uniformément bornés pour tout couple (x, y) loin de la diagonale de X. Les fonctions qui possèdent cette propriété constituant une sous-classe des fonctions uniformément continues, nous les appellerons « fonctions uniformément continues spéciales ». attribue la première utilisation de ω pour le module de continuité à où ω est l'oscillation d'une transformée de Fourier. mentionne les deux noms (1) « module de continuité » et (2) « module d'oscillation » et conclut .