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Concept
Conjecture d'Euler
Résumé
La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772, et qui s'énonce de la façon suivante :
Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième.
En d'autres termes, et de manière plus formelle :
Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de deux puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième. Les deux énoncés coïncident pour n = 3. Euler ajouta que
La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :
En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :
Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :
En 2020, aucun contre-exemple n'est connu pour n > 5.
Dans ce cas (correspondant à la résolution d'équations diophantiennes de la forme ), il y semble y avoir toujours des solutions, souvent en nombre infini.
On obtient les triplets pythagoriciens, par exemple , et plus généralement .
3 + 4 + 5 = 6 (nombre de Platon 216) ; c'est le cas correspondant à a = 1, b = 0 de la formule due à Srinivasa Ramanujan :
On peut également paramétrer un cube comme somme de 3 cubes par : ou par
Anecdotiquement, le nombre 3 peut être exprimé comme somme de trois cubes de neuf façons différentes.
195 + 435 + 465 + 475 + 675 = 725 (Lander, Parkin, Selfridge, le plus petit exemple, 1967)
215 + 235 + 375 + 795 + 845 = 945 (Lander, Parkin, Selfridge, le second plus petit, 1967)
75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075 (Sastry, 1934, le troisième plus petit)
1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687 (M. Dodrill, 1999)
908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098 (S. Chase, 2000)
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Source officielle
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