Computable functionComputable functions are the basic objects of study in computability theory. Computable functions are the formalized analogue of the intuitive notion of algorithms, in the sense that a function is computable if there exists an algorithm that can do the job of the function, i.e. given an input of the function domain it can return the corresponding output. Computable functions are used to discuss computability without referring to any concrete model of computation such as Turing machines or register machines.
Effective methodIn logic, mathematics and computer science, especially metalogic and computability theory, an effective method or effective procedure is a procedure for solving a problem by any intuitively 'effective' means from a specific class. An effective method is sometimes also called a mechanical method or procedure. The definition of an effective method involves more than the method itself. In order for a method to be called effective, it must be considered with respect to a class of problems.
Lambda-calculLe lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. On y manipule des expressions appelées λ-expressions, où la lettre grecque λ est utilisée pour lier une variable. Par exemple, si M est une λ-expression, λx.M est aussi une λ-expression et représente la fonction qui à x associe M. Le λ-calcul a été le premier formalisme pour définir et caractériser les fonctions récursives : il a donc une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel.
Kurt GödelKurt Gödel, né le à Brünn et mort le à Princeton (New Jersey), est un logicien et mathématicien autrichien naturalisé américain. Son résultat le plus connu, le théorème d'incomplétude de Gödel, affirme que n'importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Ces propositions sont qualifiées d'indécidables.
Axiomes de Peanovignette|Giuseppe Peano En mathématiques, les axiomes de Peano sont des axiomes pour l'arithmétique proposés initialement à la fin du par Giuseppe Peano, et qui connaissent aujourd'hui plusieurs présentations qui ne sont pas équivalentes, suivant la théorie sous-jacente, théorie des ensembles, logique du second ordre ou d'ordre supérieur, ou logique du premier ordre. Richard Dedekind avait proposé une formalisation assez proche, sous une forme non axiomatique.
Codage de GödelEn logique mathématique, un codage de Gödel (ou numérotation de Gödel) est une fonction qui attribue à chaque symbole et formule bien-formée de certains langages formels un entier naturel unique, appelé son code de Gödel, ou numéro de Gödel. Le concept a été utilisé par Kurt Gödel pour la preuve de ses théorèmes d'incomplétude. Un codage de Gödel peut être interprété comme un codage dans lequel un numéro est attribué à chaque symbole d'une notation mathématique, après quoi une séquence d'entiers naturels peut alors représenter une séquence de symboles.
DécidabilitéEn logique mathématique, le terme décidabilité recouvre deux concepts liés : la décidabilité logique et la décidabilité algorithmique. L’indécidabilité est la négation de la décidabilité. Dans les deux cas, il s'agit de formaliser l'idée qu'on ne peut pas toujours conclure lorsque l'on se pose une question, même si celle-ci est sous forme logique. Une proposition (on dit aussi énoncé) est dite décidable dans une théorie axiomatique si on peut la démontrer ou démontrer sa négation dans le cadre de cette théorie.
Théorème de complétude de GödelEn logique mathématique, le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre dresse une correspondance entre la sémantique et les démonstrations d'un système de déduction en logique du premier ordre. En termes intuitifs le théorème de complétude construit un pont entre vérité et démontrabilité formelle : tout énoncé vrai est démontrable.
Arithmétique de PresburgerEn logique mathématique, l'arithmétique de Presburger est la théorie du premier ordre des nombres entiers naturels munis de l'addition. Elle a été introduite en 1929 par Mojżesz Presburger. Il s'agit de l'arithmétique de Peano sans la multiplication, c’est-à-dire avec seulement l'addition, en plus du zéro et de l'opération successeur. Contrairement à l'arithmétique de Peano, l'arithmétique de Presburger est décidable. Cela signifie qu'il existe un algorithme qui détermine si un énoncé du langage de l'arithmétique de Presburger est démontrable à partir des axiomes de l'arithmétique de Presburger.
Dixième problème de HilbertLe dixième problème de Hilbert fait partie de la liste des 23 problèmes posés par David Hilbert en 1900 à Paris, lors de sa conférence au congrès international des mathématiciens. Il énonce : énoncé| X. — De la possibilité de résoudre une équation diophantienne. On donne une équation diophantienne à un nombre quelconque d'inconnues et à coefficients entiers rationnels : On demande de trouver une méthode par laquelle, au moyen d'un nombre fini d'opérations, on pourra distinguer si l'équation est résoluble en nombres entiers rationnels.
