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Concept
Lambda-calcul
Résumé
Le lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. On y manipule des expressions appelées λ-expressions, où la lettre grecque λ est utilisée pour lier une variable. Par exemple, si M est une λ-expression, λx.M est aussi une λ-expression et représente la fonction qui à x associe M.
Le λ-calcul a été le premier formalisme pour définir et caractériser les fonctions récursives : il a donc une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel. Il a depuis été appliqué comme langage de programmation théorique et comme métalangage pour la démonstration formelle assistée par ordinateur. Le lambda-calcul peut être typé ou non.
Le lambda-calcul est apparenté à la logique combinatoire de Haskell Curry et se généralise dans les calculs de substitutions explicites.
L'idée de base du lambda-calcul est que tout est fonction. Une fonction est en particulier exprimée par une expression qui peut contenir des fonctions qui ne sont pas encore définies : ces dernières sont alors remplacées par des variables. Il existe une opération de base, appelée application :
Appliquer l'expression (qui décrit une fonction) à l'expression (qui décrit une fonction) se note .
On peut aussi fabriquer des fonctions en disant que si E est une expression, on crée la fonction qui à x fait correspondre l'expression E; On écrit λx.E cette nouvelle fonction.
Le nom de la variable n'est pas plus important qu'il ne l'est dans une expression comme ∀x P(x) qui est équivalente à ∀y P(y) . Autrement dit si E[y/x] est l'expression E dans laquelle toutes les occurrences de x ont été renommées en y, on considérera que les expressions λx.E et λy.E[y/x] sont équivalentes.
En utilisant les outils dont on vient de se doter, on obtient, par applications et abstractions, des fonctions assez compliquées que l'on peut vouloir simplifier ou évaluer. Simplifier une application de la forme (λx.
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