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Concept
Arithmétique de Presburger
Résumé
En logique mathématique, l'arithmétique de Presburger est la théorie du premier ordre des nombres entiers naturels munis de l'addition. Elle a été introduite en 1929 par Mojżesz Presburger. Il s'agit de l'arithmétique de Peano sans la multiplication, c’est-à-dire avec seulement l'addition, en plus du zéro et de l'opération successeur. Contrairement à l'arithmétique de Peano, l'arithmétique de Presburger est décidable. Cela signifie qu'il existe un algorithme qui détermine si un énoncé du langage de l'arithmétique de Presburger est démontrable à partir des axiomes de l'arithmétique de Presburger.
Définition
La signature du langage de l'arithmétique de Presburger contient les symboles de constantes 0 et 1, le symbole de fonction binaire +. L'arithmétique est définie par les axiomes suivants :
∀x, ¬(0 = x + 1)
∀x,∀y, x + 1 = y + 1 → x = y
∀x, x + 0 = x
∀x, ∀y, x + (y + 1) = (x + y) + 1
Pour toute formule P(x, y1, …, yn) du premier-ordre sur le langage de l'arithm
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