Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Dixième problème de Hilbert
Résumé
Le dixième problème de Hilbert fait partie de la liste des 23 problèmes posés par David Hilbert en 1900 à Paris, lors de sa conférence au congrès international des mathématiciens. Il énonce :
énoncé| X. — De la possibilité de résoudre une équation diophantienne.
On donne une équation diophantienne à un nombre quelconque d'inconnues et à coefficients entiers rationnels : On demande de trouver une méthode par laquelle, au moyen d'un nombre fini d'opérations, on pourra distinguer si l'équation est résoluble en nombres entiers rationnels.
En termes modernes, il demande de trouver un algorithme général permettant de décider, pour n'importe quelle équation diophantienne (c'est-à-dire équation polynomiale à coefficients entiers), si cette équation possède des solutions entières.
En 1970, Youri Matiiassevitch démontre qu'il n'existe pas de tel algorithme.
Le théorème de Matiiassevitch établit que les ensembles diophantiens, qui sont les ensembles de solutions entières positives ou nulles d'une équation diophantienne avec paramètres, sont exactement tous les ensembles récursivement énumérables, ce qui entraîne qu'un tel algorithme ne peut exister.
Il s'agit du seul des 23 problèmes de Hilbert qui est ce que l'on appelle aujourd'hui un problème de décision : il existe une infinité dénombrable d'équations diophantiennes, mais la solution du dixième problème demande de trouver une méthode universelle qui permette de statuer sur la résolubilité de n'importe quelle équation diophantienne. Il existe de fait des méthodes très diverses et utilisant des techniques mathématiques très variées pour résoudre des équations diophantiennes spécifiques. Par exemple, le théorème de Fermat-Wiles résout une famille d'équations diophantiennes à trois inconnues.
Équation diophantienne
Hilbert n'emploie pas le mot « algorithme », mais il n'y a aucun doute que c'est cela qu'il entend. À son époque, il n'existe pas de définition précise de ce qu'est un algorithme, ce qui n'aurait pas été gênant si la solution du problème avait été positive.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.