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Concept
Transformation de Hilbert
Résumé
En mathématiques et en traitement du signal, la transformation de Hilbert, ici notée , d'une fonction de la variable réelle est une transformation linéaire qui permet d'étendre un signal réel dans le domaine complexe, de sorte qu'il vérifie les équations de Cauchy-Riemann.
La transformation de Hilbert tient son nom en honneur du mathématicien David Hilbert, mais fut principalement développée par le mathématicien anglais G. H. Hardy.
Soit une fonction définie sur à valeur dans , on appelle transformée de Hilbert la fonction définie par:
où est la transformation de Hilbert et où
et
vp étant l'abréviation de valeur principale de Cauchy.
On peut montrer que pour tout réel p > 1, est un opérateur borné de l'espace L(R) dans lui-même.
Il s'ensuit que la transformée de Hilbert d'un signal peut être calculée dans le domaine fréquentiel en remarquant que la transformée de Fourier de la fonction h, notée H est :
où
désigne la transformée de Fourier de h,
i désigne l'unité imaginaire (parfois notée j)
est la fréquence angulaire, et
qui est souvent appelée fonction de signe.
Ainsi, comme la transformée de Fourier d'une convolution est égale au produit des transformées de Fourier de ses constituants, on a:
La transformation de Hilbert a pour effet de tourner de +90° la composante de fréquence négative de s(t) et de −90° la composante de fréquence positive.
Autrement dit, la transformée de Hilbert tourne de 90° le plan de projection du signal analytique.
On peut remarquer que (excepté en , où la fonction signe est nulle, ce qui implique ). Donc la transformée de Hilbert inverse apparait clairement :
Remarque. Certains auteurs, par exemple , utilisent notre comme définition de la transformation présentée dans la suite. La conséquence est qu'il faut prendre l'opposé de la colonne de droite du tableau.
De nombreux signaux peuvent être modélisés par le produit d'un signal harmonique à support borné, sm(t), et d'une « porteuse » sinusoïdale :
Lorsque sm(t) n'a pas de composante fréquentielle au-delà de la fréquence de la porteuse, Hz, alors :
Donc, la transformation de Hilbert peut être simplement vue comme un circuit qui produit un déphasage de 90° de la fréquence de la porteuse.
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