Solutions de base spatiales: Séparation des variables

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Description

Cette séance de cours couvre la dérivation de solutions de base spatiales à l'aide de la méthode de séparation des variables, en se concentrant sur la résolution des équations différentielles ordinaires de second ordre couplées à des coefficients inconnus. L'instructeur explique le processus étape par étape, en soulignant l'importance des conditions limites pour déterminer la compatibilité des solutions.

Enseignant

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En mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables.

vignette|upright|Une des premières radiographies, prise par Wilhelm Röntgen. alt=Rayon X des poumons humains|vignette|189x189px|Rayon X des poumons humains. Les rayons X sont une forme de rayonnement électromagnétique à haute fréquence constitué de photons dont l'énergie varie d'une centaine d'eV (électron-volt), à plusieurs MeV. Ce rayonnement a été découvert en 1895 par le physicien allemand Wilhelm Röntgen, qui a reçu pour cela le premier prix Nobel de physique ; il lui donna le nom habituel de l'inconnue en mathématiques, X.

vignette|redresse=2|Les rayons X couvrent le domaine allant d'environ , auquel l'atmosphère est opaque. L’astronomie en (souvent abrégée en ) est la branche de l'astronomie qui consiste à étudier l'émission des objets célestes en . Puisque le est absorbé par l'atmosphère de la Terre, les instruments doivent être envoyés à haute altitude à l'aide de ballons et désormais de fusées. L' fait donc aujourd'hui partie de la recherche spatiale, les détecteurs étant placés à bord de satellites.

En mathématiques, une condition aux limites de Dirichlet (nommée d’après Johann Dirichlet) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine. Pour une équation différentielle, par exemple : la condition aux limites de Dirichlet sur l'intervalle s'exprime par : où et sont deux nombres donnés.

En analyse, un problème aux limites est constitué d'une équation différentielle (ou plus généralement aux dérivées partielles) dont on recherche une solution prenant de plus des valeurs imposées en des limites du domaine de résolution. Contrairement au problème analogue dit de Cauchy, où une ou plusieurs conditions en un même endroit sont imposées (typiquement la valeur de la solution et de ses dérivées successives en un point), auquel le théorème de Cauchy-Lipschitz apporte une réponse générale, les problèmes aux limites sont souvent des problèmes difficiles, et dont la résolution peut à chaque fois conduire à des considérations différentes.