Opérations matricielles : Définitions et exemples

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Description

Cette séance de cours couvre les opérations de base sur matrices, y compris la définition, la notation, l'addition, la multiplication scalaire et la multiplication matricielle. Il explique également des cas spéciaux comme la matrice zéro et présente les propriétés de l'addition de matrice et de la multiplication scalaire. La séance de cours se termine par des exemples détaillés de multiplication matricielle et de ses applications dans les transformations linéaires.

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Matrice (mathématiques)

thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.

Produit matriciel

Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).

Matrice inversible

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A. Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.

Matrix ring

In abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.

Complexité de la multiplication de matrices

En informatique théorique, la complexité de la multiplication de matrices est le nombre d'opérations requises pour l'opération de produit matriciel. Les algorithmes de multiplication de matrices constituent un sujet central dans les algorithmes théoriques et numériques en algèbre linéaire numérique et en optimisation, donc déterminer la complexité en temps du produit est d'une importance pratique. L'application directe de la définition mathématique de la multiplication de matrices donne un algorithme qui nécessite opérations sur le corps de base pour multiplier deux matrices d'ordre .