Extension abélienneEn algèbre générale, plus précisément en théorie de Galois, une extension abélienne est une extension de Galois dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique. Toute extension finie d'un corps fini est une extension cyclique. L'étude de la théorie des corps de classes décrit de façon détaillée toutes les extensions abéliennes dans le cas des corps de nombres, et des corps de fonctions de courbes algébriques sur des corps finis, ainsi que dans le cas des corps locaux (Théorie du corps de classes local).
Corps commutatifvignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.
Espace affineEn géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).
Function field of an algebraic varietyIn algebraic geometry, the function field of an algebraic variety V consists of objects which are interpreted as rational functions on V. In classical algebraic geometry they are ratios of polynomials; in complex algebraic geometry these are meromorphic functions and their higher-dimensional analogues; in modern algebraic geometry they are elements of some quotient ring's field of fractions. In complex algebraic geometry the objects of study are complex analytic varieties, on which we have a local notion of complex analysis, through which we may define meromorphic functions.
Représentation galoisienneLa théorie des représentations galoisiennes est l'application naturelle de la théorie des représentations à la théorie algébrique des nombres. Un module galoisien est un module sur lequel agit un groupe de Galois G. Ces modules seront par exemple des groupes d'unités, des groupes des classes, ou des groupes de Galois eux-mêmes. En théorie algébrique des nombres classique, soit L une extension galoisienne d'un corps de nombres K, et soit G le groupe de Galois correspondant.
Radical extensionIn mathematics and more specifically in field theory, a radical extension of a field K is an extension of K that is obtained by adjoining a sequence of nth roots of elements. A simple radical extension is a simple extension F/K generated by a single element satisfying for an element b of K. In characteristic p, we also take an extension by a root of an Artin–Schreier polynomial to be a simple radical extension. A radical series is a tower where each extension is a simple radical extension.
Cubic fieldIn mathematics, specifically the area of algebraic number theory, a cubic field is an algebraic number field of degree three. If K is a field extension of the rational numbers Q of degree [K:Q] = 3, then K is called a cubic field. Any such field is isomorphic to a field of the form where f is an irreducible cubic polynomial with coefficients in Q. If f has three real roots, then K is called a totally real cubic field and it is an example of a totally real field. If, on the other hand, f has a non-real root, then K is called a complex cubic field.
Algebraic spaceIn mathematics, algebraic spaces form a generalization of the schemes of algebraic geometry, introduced by Michael Artin for use in deformation theory. Intuitively, schemes are given by gluing together affine schemes using the Zariski topology, while algebraic spaces are given by gluing together affine schemes using the finer étale topology. Alternatively one can think of schemes as being locally isomorphic to affine schemes in the Zariski topology, while algebraic spaces are locally isomorphic to affine schemes in the étale topology.
Complex analytic varietyIn mathematics, and in particular differential geometry and complex geometry, a complex analytic variety or complex analytic space is a generalization of a complex manifold which allows the presence of singularities. Complex analytic varieties are locally ringed spaces which are locally isomorphic to local model spaces, where a local model space is an open subset of the vanishing locus of a finite set of holomorphic functions. Denote the constant sheaf on a topological space with value by .
Algèbre d'AzumayaEn mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964.
