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Concept
Espace affine
Résumé
En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut aussi être vu comme un espace vectoriel « dont on a oublié l'origine ». Ainsi les translations de vecteur non nul sont des transformations affines (c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles. Les homothéties (de centre un point quelconque de l'espace), mais aussi par exemple les transvections ou les dilatations sont des applications affines.
Il est possible d'axiomatiser les espaces affines directement, en termes de points, de droites et de la relation d'incidence (appartenance) d'un point à une droite, cependant les définitions les plus usuelles d'espace affine s'appuient sur celle d'espace vectoriel sur un corps, qui est le corps des nombres réels pour la géométrie affine « classique ». Les éléments de l'espace affine sont appelés points, ceux de l'espace vectoriel associé vecteurs, et ceux du corps associé scalaires.
Une opération fondamentale des espaces affines associe à deux points A et B un vecteur noté . Dans ce contexte les couples de points sont souvent appelés bipoints, un bipoint (A,B) a pour origine A, pour extrémité B et définit donc un vecteur . Une autre opération fondamentale associe à un point A et un vecteur un autre point, appelé translaté de A par , et souvent noté A + (notation de Grassmann). Ces opérations sont liées, en effet B est le translaté de A par le vecteur défini par le bipoint (A, B), en fait on aura :
si et seulement si ,
c'est-à-dire que chacune de ces deux opérations peut se définir en fonction de l'autre.
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