Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Représentation galoisienne
Résumé
La théorie des représentations galoisiennes est l'application naturelle de la théorie des représentations à la théorie algébrique des nombres. Un module galoisien est un module sur lequel agit un groupe de Galois G. Ces modules seront par exemple des groupes d'unités, des groupes des classes, ou des groupes de Galois eux-mêmes.
En théorie algébrique des nombres classique, soit L une extension galoisienne d'un corps de nombres K, et soit G le groupe de Galois correspondant. Alors l'anneau OL des entiers de L peut être considéré comme un OK[G]-module. Le théorème de la base normale assure que L est un K[G]-module libre de rang 1 ; c'est un résultat de théorie des corps. La question arithmétique analogue peut donc s'énoncer : OL est-il un OK[G]-module de rang 1 ? C'est la question de l'existence d'une base normale d'entiers, c'est-à-dire d'un élément de OL dont les conjugués sous G donnent une OK-base de OL. Cette question se pose particulièrement dans le cas où K est le corps Q des nombres rationnels.
Tous les sous-corps de certains corps cyclotomiques, les Q(ζp) où ζp est une racine p-ième de l'unité pour p un nombre premier, ont des bases normales d'entiers (sur Z) ; ceci se déduit de la théorie des périodes de Gauss. En revanche, le corps de Gauss Q(i) n'en admet pas. En fait, ces exemples s'inscrivent dans le cadre plus général d'une condition nécessaire : en prenant K = Q, le théorème de Hilbert-Speiser établit que le fait que la ramification soit modérée est nécessaire et suffisant pour que OL soit un module projectif sur Z[G]. C'est par conséquent une condition nécessaire pour qu'il soit un module libre. Cela laisse en suspens la question de la différence entre libre et projectif, pour lequel beaucoup de travail a maintenant été fait.
Dans le cas d'un groupe G profini, c'est-à-dire si G est groupe de Galois d'une extension finie comme infinie, il existe une grande quantité de G-modules disponibles en théorie de la cohomologie étale.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Proximité ontologique
Cours associés (8)
MATH-494: Topics in arithmetic geometry
P-adic numbers are a number theoretic analogue of the real numbers, which interpolate between arithmetics, analysis and geometry. In this course we study their basic properties and give various applic
MATH-510: Algebraic geometry II - schemes and sheaves
The aim of this course is to learn the basics of the modern scheme theoretic language of algebraic geometry.
MATH-314: Representation theory of finite groups
Group representation theory studies the actions of groups on vector spaces. This allows the use of linear algebra to study certain group theoretical questions. In this course the groups in question wi
Publications associées (39)
Concepts associés (24)
Glossary of algebraic geometry
This is a glossary of algebraic geometry. See also glossary of commutative algebra, glossary of classical algebraic geometry, and glossary of ring theory. For the number-theoretic applications, see glossary of arithmetic and Diophantine geometry. For simplicity, a reference to the base scheme is often omitted; i.e., a scheme will be a scheme over some fixed base scheme S and a morphism an S-morphism.
Cohomologie galoisienne
En mathématiques, la cohomologie galoisienne est l'étude de l'action d'un groupe de Galois sur certains groupes, par des méthodes cohomologiques. Elle permet d'obtenir des résultats à la fois sur le groupe de Galois agissant, et sur le groupe sur lequel il agit. En particulier, le groupe de Galois d'une extension de corps de nombres L/K agit naturellement par exemple sur le groupe multiplicatif L, mais aussi sur le groupe des unités de l'anneau des entiers du corps L, ou sur son groupe des classes.
Cohomologie étale
La cohomologie étale est la théorie cohomologique des faisceaux associée à la topologie étale. Elle mime le comportement habituel de la cohomologie classique sur des objets mathématiques où celle-ci n'est pas envisageable, en particulier les schémas et les espaces analytiques. La cohomologie étale a été introduite pour les schémas par Alexander Grothendieck et Michael Artin dans SGA 4 et 41⁄2, avec l'objectif de réaliser une cohomologie de Weil et ainsi résoudre les conjectures de Weil, objectif partiellement rempli, plus tard complété par Pierre Deligne avec l'introduction de la cohomologie l-adique.