En mathématiques, un polynôme homogène, ou forme algébrique, est un polynôme en plusieurs indéterminées dont tous les monômes non nuls sont de même degré total. Par exemple le polynôme x + 2xy + 9xy est homogène de degré 5 car la somme des exposants est 5 pour chacun des monômes ; les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques. Les polynômes homogènes sont omniprésents en mathématiques et en physique théorique. Soit K un corps commutatif. Un polynôme homogène de degré d en n variables est un polynôme dans K[X, ... , X] qui est somme de monômes de degré d. Si un polynôme P de K[X, ... , X] est homogène de degré d, alors la fonction polynomiale associée est homogène de degré d, c'est-à-dire que pour tous λ, x, ... , x ∈ K on a : La réciproque est vraie lorsque le corps est infini. L'ensemble des polynômes homogènes de degré d dans K[X, ... , X] forme un K-espace vectoriel. (En particulier, le polynôme nul est homogène de degré d, pour tout entier d ; c'est le seul polynôme homogène dont le degré n'est donc pas défini.) Sa base canonique est l'ensemble des monômes Sa dimension est donc le nombre de d-combinaisons avec répétition de l'ensemble {1, 2, ... , n} : Les formes algébriques généralisent les formes quadratiques au degré 3 et plus, et étaient aussi connues par le passé sous le nom de « quintiques ». Pour désigner le type d'une forme, il faut à la fois donner son degré et le nombre de variables n. Une forme est « sur » un corps K, si elle applique Kn dans K. Une forme f à n variables sur un corps K « représente 0 » s'il existe un élément (x, ... , x) dans Kn tel que f(x, ... , x) = 0 et qu'au moins l'un des xi (i = 1,...,n) est non nul. Par exemple, une forme quadratique représente 0 si et seulement si elle n'est pas définie. Une forme de degré d est dite si elle s'écrit ax + ... + ax. De même qu'une variété algébrique affine sur K est le lieu d'annulation, dans un espace affine K, d'une famille de polynômes à n variables à coefficients dans K, une variété projective sur K est le lieu d'annulation, dans un espace projectif P(K), d'une famille de polynômes homogènes à n + 1 variables à coefficients dans K.

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