Concept

Spirale de Fermat

vignette|Les deux branches de la spirale de Fermat d'équation ρ2 = θ (noire pour ρ positif et rouge pour ρ négatif) Une spirale de Fermat est une courbe plane d'équation polaire: Son nom est une référence au mathématicien Pierre de Fermat qui la décrit dans une lettre à Marin Mersenne en 1636 et présente sa propriété d'aire balayée par un rayon. Cette courbe a aussi été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire . La spirale de Fermat est une courbe transcendante qui possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O. Elle partage le plan en deux composantes connexes. Pour tout point M de la courbe, on appelle T et N les points d'intersection de la tangente et la normale à la courbe en M avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM). Les longueurs OT et ON (sous-tangente et sous-normale) valent alors: L'aire du triangle OMN est donc constante égale au quart du carré de côté a. L'aire balayée par le rayon OM de M à M est donnée par la formule: En particulier, si l'on prend pour θ la valeur 2kπ, la surface balayée par le rayon de M à M correspond à la moitié de l'aire du disque de rayon OM, les autres spires ont des aires identiques égales à l'aire du disque de rayon OM. C'est la propriété énoncée par Fermat en 1636. Le rayon de courbure s'exprime par: La courbe possède donc un seul point d'inflexion à l'origine. Son abscisse curviligne est donnée par: et la rectification de la courbe fait intervenir une intégrale elliptique de première espèce. La spirale de Fermat est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, du lituus d'équation polaire . Si on fait rouler la spirale de Fermat d'équation sur la courbe d'équation , son centre se déplace sur l'axe des abscisses. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704. vignette|upright=1.5|center|Spirale de Fermat d'équation roulant sur la courbe et dont le centre reste sur l'axe des x.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.