Rétraction

En topologie générale et surtout en topologie algébrique, une rétraction est, intuitivement, un « rétrécissement » d'un espace topologique sur l'un de ses sous-espaces. Ce sous-espace est un rétract par déformation s'il existe une fonction permettant d'effectuer ce « rétrécissement » de façon continue. Soient X un espace topologique et A un sous-espace. Une rétraction de X sur A est une application continue r de X dans A dont la restriction à A est l'application identité de A, c'est-à-dire telle que pour tout point a de A, r(a) = a ; autrement dit, c'est une rétraction de l'application d'inclusion i de A dans X : r ∘ i = Id. On dit que A est un rétract (ou rétracte ) de X s'il existe une telle rétraction. On dit que A est un rétract de voisinage de X si A est un rétract d'un voisinage de A dans X. Un rétract absolu pour une famille F d'espaces topologiques (ou ARF, de l'anglais absolute retract) est un élément de F qui est un rétract de tout élément de F dans lequel il est fermé. Lorsque la famille F n'est pas explicitée, il s'agit de celle des espaces normaux. De même, un rétract absolu de voisinage pour F (ou ANRF, de l'anglais absolute neighbourhood retract) est un élément de F qui est un rétract de voisinage de tout élément de F dans lequel il est fermé. Une rétraction par déformation de X sur A est une homotopie entre une rétraction de X sur A et l'application identité de X, c'est-à-dire une application continuetelle queOn appelle aussi rétraction par déformation toute rétraction r dont la composée i ∘ r avec l'inclusion est homotope à l'identité de X, c'est-à-dire toute application de X dans A de la forme x ↦ F(x, 1) avec F comme ci-dessus. On dit que A est un rétract par déformation de X s'il existe une rétraction par déformation de X sur A. Une rétraction forte par déformation est une telle application F vérifiant de plus(Certains auteurs appellent cela une rétraction par déformation.) Toute rétraction de X sur A est évidemment surjective. Tout singleton d'un espace en est un rétract.