Corps des fractions

En théorie des anneaux, le corps des fractions d'un anneau intègre A est le plus petit corps commutatif (à isomorphisme près) contenant A. Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à un anneau de polynômes, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles. Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation. On définit sur E = A × A{0} deux lois internes et une relation d'équivalence compatible avec ces deux lois : une pseudo-addition : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd) ; une pseudo-multiplication : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) . (c, d) = (ac, bd) ; une relation : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) ~ (c, d) ssi ad = bc. L'existence des deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut que le produit bd soit non nul. Dans ce cas, les deux lois de composition interne sont bien définies, commutatives (d'après la commutativité du produit sur A) et associatives. Elles ne possèdent un élément neutre que si l'anneau est unitaire (il s'agit dans ce cas de (0, 1) pour la première et (1, 1) pour la seconde) et même dans ce cas, si l'anneau n'est pas déjà un corps, il existe des éléments sans inverse pour chacune des deux lois construites sur E. Enfin, il n'y a pas de distributivité de la seconde loi sur la première. La relation ~ définie par (a, b) ~ (c, d) si ad = bc est bien symétrique, réflexive et transitive par hypothèse d'intégrité. Elle est de plus compatible avec les deux lois, c'est-à-dire que la classe du résultat de la pseudo-multiplication (ou de la pseudo-addition) ne dépend que des classes des opérandes. Autrement dit, les lois de composition peuvent être appliquées aux classes d'équivalence sans tenir compte du choix du représentant. La classe d'un couple (a, b) se note usuellement et est appelée fraction. L'ensemble quotient, noté K(A) est muni des lois de composition induites (addition et multiplication).