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Concept
Corps des fractions
Résumé
En théorie des anneaux, le corps des fractions d'un anneau intègre A est le plus petit corps commutatif (à isomorphisme près) contenant A.
Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à un anneau de polynômes, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles.
Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation.
Construction
On définit sur E = A × A{0} deux lois internes et une relation d'équivalence compatible avec ces deux lois :
- une pseudo-addition : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd) ;
- une pseudo-multiplication : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) . (c, d) = (ac, bd) ;
- une relation : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) ~ (c, d) ssi ad = bc. L'existence des deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut que le produit bd soit non nul. Dans ce cas, les de
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