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Concept
Anneau quotient
Résumé
En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères.
Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A.
On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A :
Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).
La surjection canonique π : A → A/I est alors un morphisme d'anneaux, de noyau I.
A / A est l'anneau trivial (réduit à 0).
A / {0} est isomorphe à A.
Si A = Z (l'anneau des entiers relatifs) et I = n Z pour un certain entier n, l'anneau quotient A / I est l'anneau Z / n Z. Cette structure est le fondement de l'arithmétique modulaire.
Pour A = R[X], anneau des polynômes à coefficients réels et I l'idéal principal engendré par X2 + 1, A / I est un anneau isomorphe à C, le corps des nombres complexes.
Les utilisations de l'anneau Z / nZ en théorie des nombres illustrent l'efficacité de l'introduction d'anneaux quotients. Ainsi l'équation diophantienne ax+by = 1, qui peut être traitée par des méthodes d'arithmétique tout à fait élémentaire, peut aussi être interprétée comme recherche de l'inverse de a dans l'anneau quotient Z / bZ. Pour ce point de vue, il existe des solutions si et seulement si la classe de a est un élément inversible de l'anneau quotient, si et seulement si a premier avec b. Les valeurs possibles de x sont alors les entiers qui se projettent dans Z / bZ sur cet inverse de la classe de a.
Le cas des quotients Z / pZ où p est premier est particulièrement fécond. L'anneau Z / p Z est alors un corps commutatif et on bénéficie de la richesse de cette structure. Le petit théorème de Fermat ou le théorème de Wilson sont deux exemples en arithmétique élémentaire qui peuvent bénéficier d'un tel traitement.
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