Anneau commutatif

Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents. Il est simplement inutile de distinguer idéaux à gauche et à droite : les idéaux sont systématiquement bilatères et permettent la définition de quotients. L’ensemble des entiers relatifs muni des lois d’addition et de multiplication ordinaires est l'archétype des anneaux commutatifs. L’anneau est généralement noté en référence au mot allemand « Zahlen » (nombres). Les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes forment des anneaux commutatifs. Ce sont tous des corps commutatifs, c'est-à-dire des anneaux commutatifs où la division est possible. Si n est un entier strictement positif, alors l’ensemble Z/nZ des classes de congruence modulo n est un anneau commutatif à n éléments. Si A est un anneau commutatif, alors les polynômes à une indéterminée (ou plus généralement les polynômes à plusieurs indéterminées), à coefficients dans A constituent un nouvel anneau commutatif, noté A[X] (respectivement A[X1,...,Xn]). Il en est de même des séries formelles à coefficients dans A, dont l'anneau est noté (respectivement ). Les anneaux de Boole sont des anneaux commutatifs de caractéristique 2, intimement liés aux algèbres de Boole. Les fonctions continues de [0, 1] vers R constituent, pour l'addition et la multiplication usuelle, un anneau commutatif (non intègre). Anneau intègre Un élément non nul a d’un anneau commutatif est appelé un diviseur de zéro, lorsqu’il existe un élément non nul b de l’anneau tel que ab = 0.