Loi du χ² non centrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du χ non centrée est une loi de probabilité qui généralise la loi du χ2. Cette loi apparait lors de tests statistiques, par exemple pour le maximum de vraisemblance. Soit X, k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et variances . Alors la variable aléatoire suit une loi du χ non centrée. Elle dépend de deux paramètres : k qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de X), et λ qui est en lien avec la moyenne des variables X par la formule : est parfois appelé le paramètre de décentralisation. Certaines références définissent λ différemment, comme la moyenne de la somme ci-dessus ou comme sa racine carrée. Cette loi apparait en statistique multivariée, elle est issue de la loi normale multidimensionnelle. Comme la loi du χ2 est le carré de la norme du vecteur aléatoire défini à partir des variables de loi (c'est-à-dire le carré de la distance entre l'origine et un point donné par cette loi), la loi du χ non centrée est le carré de la norme d'un vecteur aléatoire de loi . Ici 0 est le vecteur nul de longueur k, et I est la matrice unité de taille k. La densité de probabilité est donnée par : où Y est de loi du χ2 à q degrés de liberté. De cette représentation, la loi du χ non centrée est vue comme une loi mélange de loi du . Supposons que la variable J suit une loi de Poisson avec moyenne λ/2, et que la loi conditionnelle de Z sachant J = i est la loi du χ à k+2i degrés de liberté. Alors la loi (non conditionnelle) de Z est la loi du χ non centrée à k degrés de liberté, et avec paramètre de décentralisation . D'une autre part, la densité peut être écrite sous la forme où I(z) est la fonction de Bessel modifiée du premier type donnée par En utilisant la relation entre les fonctions de Bessel et hypergéométrique, la densité peut également être écrite sous la forme : Siegel (1979) considère plus particulièrement le cas k=0 (0 degré de liberté), dans ce cas la loi est atomique en 0.