Archimédien

À l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. » Une structure algébrique est dite archimédienne si ses éléments vérifient une telle propriété. Intuitivement, la propriété d'Archimède indique que pour deux valeurs, la plus grande pourra toujours être mesurée à l'aune de la plus petite : en ajoutant un nombre fini de fois la plus petite valeur, on finira toujours par dépasser la plus grande. À l'inverse, si la propriété d'Archimède n'est pas vérifiée, alors il existe des grandeurs totalement incommensurables : par exemple, dans un ensemble contenant des infinitésimaux, on ne pourra jamais atteindre une grandeur finie par une somme de valeurs infiniment petites. Groupe archimédien Un groupe totalement ordonné (G, +, ≤) est dit archimédien si pour tous éléments a et b de G vérifiant 0 < a < b, il existe un entier naturel n tel que na > b. Formellement, cela s'écrit : L'hypothèse a > 0 est primordiale mais la restriction aux b > a est accessoire : si a > 0 alors pour tous les b ≤ a, l'entier n = 2 convient. Tout groupe totalement ordonné archimédien se plonge dans (R, +, ≤) — en particulier, il est abélien. Soit (A, +, ×, ≤) un anneau totalement ordonné. On dit que (A, +, ×, ≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si le groupe ordonné (A, +, ≤) est archimédien. Soit (K, +, ×, ≤) un corps totalement ordonné (cas particulier d'anneau totalement ordonné) donc contenant une copie de Q. Une division par a > 0 montre qu'il est archimédien si et seulement si autrement dit si N n'est pas majoré dans K. Les propriétés suivantes sont équivalentes : K est archimédien. Le corps Q des rationnels est dense dans K. La suite (1/n) converge vers 0 (pour la topologie de l'ordre). La suite (1/n) converge. K se plonge dans le corps R des réels, c'est-à-dire est isomorphe (en tant que corps ordonné) à un sous-corps de R. Si (A, B) est une coupure de K, alors pour tout ε > 0, il existe a élément de A, et b élément de B, tels que b – a < ε.