Dégénérescence (théorie des graphes)

En théorie des graphes, la dégénérescence est un paramètre associé à un graphe non orienté. Un graphe est k-dégénéré si tout sous-graphe contient un nœud de degré inférieur ou égal à k, et la dégénérescence d'un graphe est le plus petit k tel qu'il est k-dégénéré. On peut de façon équivalente définir le paramètre en utilisant un ordre sur les sommets (appelé ordre de dégénérescence) tel que, pour tout sommet, le nombre d'arêtes vers des sommets plus petits dans l'ordre est au plus k. On parle alors parfois de nombre de marquage. Il est possible de calculer l'ordre de dégénérescence en temps linéaire. L'algorithme consiste à retirer itérativement les nœuds de plus faible degré, en maintenant à jour une file de paquets indexés par leur degré courant. Les composantes connexes obtenues lorsque tous les sommets de degré inférieur à k ont été retirés sont appelés k-cœur du graphe, et la dégénérescence k est alors donnée par la plus grande valeur k associée à un k-cœur non-vide. La dégénérescence est une mesure de la non-densité du graphe (c'est-à-dire d'à quel point le graphe est creux). On l'utilise notamment dans les problèmes de coloration de graphes. vignette|400px|Un graphe 2-dégénéré. Historiquement, la première définition proposée (sous le nom de coloring number) est due à Paul Erdős et András Hajnal en 1966. Elle dit qu'un graphe a un coloring number de k s'il existe un ordre sur les sommets tel que, pour tout sommet, le nombre d'arêtes vers des sommets plus petits dans l'ordre est au plus k. Don Lick et Arthur White proposent une définition équivalente (en employant le terme de k-degenerate graph) en 1970: un graphe est dit k-dégénéré si tout sous-graphe induit contient un nœud de degré inférieur ou égal à k. On appelle dégénérescence d'un graphe le plus petit entier k tel que le graphe est k-dégénéré. En français, on emploie également les terme nombre de marquage. En anglais, les termes degeneracy et coloring number sont tous deux employés. Il ne faut pas confondre le coloring number avec le chromatic number (ou nombre chromatique).