Inclusion (mathématiques)

En mathématiques, l’inclusion est une relation d'ordre entre ensembles. On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont aussi éléments de B. On dit dans ce cas que A est un sous-ensemble ou une partie de B, ou encore que B est sur-ensemble de A. Cette relation n'est pas symétrique a priori, car il peut y avoir des éléments du deuxième ensemble qui n'appartiennent pas au premier. Plus précisément, il y a inclusion dans les deux sens entre deux ensembles si et seulement si ces deux ensembles sont égaux. L'inclusion se note majoritairement avec le symbole « ⊂ » introduit par Schröder, même si d'autres auteurs réservent ce symbole à l'inclusion stricte (c'est-à-dire excluant le cas d'égalité), suivant ainsi la norme ISO. L'inclusion au sens large peut alors être notée avec le symbole « ⊆ » de Felix Hausdorff, par analogie avec les symboles de comparaison numériques. Pour lever l'ambiguïté, l'inclusion stricte peut aussi être notée « ⊊ », à ne pas confondre avec la négation de l'inclusion, qui se note « ⊄ » ou « ⊈ ». Tous ces symboles peuvent être réfléchis pour représenter les relations réciproques. Soient deux ensembles et . Par définition, est inclus (au sens large) dans si tout élément de est un élément de , est inclus (au sens strict) dans si de plus . En notation symbolique, l’inclusion au sens large est notée ou ; par définition (« » désigne l'implication logique) : signifie . On peut aussi définir l'inclusion au sens large à partir de l'intersection ou de la réunion : si et seulement si ; si et seulement si . La relation peut se lire : « est inclus dans », « est une partie de », « est un sous-ensemble de ». et peut aussi s'écrire B ⊇ A, qui se lit : « inclut », « est une extension de », « est un sur-ensemble de ». Sont également utilisés « contient » et « est contenu dans », qui peuvent par ailleurs signifier . Certains auteurs, tels que Paul Halmos et George Boolos, recommandent d'utiliser systématiquement « inclut » et jamais « contient » pour traduire B ⊇ A, afin d'éviter toute confusion avec l'appartenance.