vignette|Notation de l'ensemble vide.
En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.
L'ensemble vide peut être noté d'un O barré, à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'une espace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite par André Weil, dans le cadre de l'institution de notations par le groupe Bourbaki. Von Neumann dans son article de 1923,
qui est l'une des premières références qui l'aborde, le note O.
Les ensembles et sont tous deux égaux à l'ensemble vide.
Pour tout ensemble A :
l'ensemble vide est un sous-ensemble de A :
l'union de A avec l'ensemble vide est A :
∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A,
soit : l'ensemble vide est neutre pour la réunion ;
l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide :
∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅,
soit : l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection ;
le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même :
A ⊂ ∅ ⇔ A = ∅,
donc l'ensemble des parties de l'ensemble vide est un singleton, dont l'élément est l'ensemble vide : ;
le produit cartésien de A par l'ensemble vide est vide :
A × ∅ = ∅ × A = ∅,
soit : l'ensemble vide est absorbant pour le produit cartésien ;
si A est non vide, l'ensemble des applications de A dans l'ensemble vide est vide :
A ≠ ∅ ⇒ ∅ = ∅ ;
l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans A est un singleton, dont l'élément est l'« application vide de ∅ dans A » (de graphe ∅). Si on la note ∅, on a donc :
A = {∅}.
Par exemple, {0, 1} = {∅}, ce qui est cohérent avec l'égalité ci-dessus.
L'union d'une famille d'ensembles indexée par ∅ est égale à ∅.
L'intersection d'une famille d'ensembles indexée par ∅ n'est pas définie sans faire référence à un ensemble qui les contient tous. Auquel cas, elle est égale à ce dernier.
∅ est fini ; son cardinal est 0 : card(∅) = 0.
∅ admet une unique topologie, qui est {∅}. Elle est à la fois grossière (donc cet espace topologique est connexe) et discrète (donc cet espace est compact, comme tout espace fini discret).
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Le contenu de ce cours correspond à celui du cours d'Analyse I, comme il est enseigné pour les étudiantes et les étudiants de l'EPFL pendant leur premier semestre. Chaque chapitre du cours correspond
vignette|Ensemble de polygones dans un diagramme d'Euler En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement un rassemblement d’objets distincts (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme une totalité » pour paraphraser Georg Cantor qui est à l'origine de la théorie des ensembles. Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble).
La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.