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Concept
Ensemble vide
Résumé
vignette|Notation de l'ensemble vide.
En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.
L'ensemble vide peut être noté d'un O barré, à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'une espace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite par André Weil, dans le cadre de l'institution de notations par le groupe Bourbaki. Von Neumann dans son article de 1923,
qui est l'une des premières références qui l'aborde, le note O.
Les ensembles et sont tous deux égaux à l'ensemble vide.
Pour tout ensemble A :
l'ensemble vide est un sous-ensemble de A :
l'union de A avec l'ensemble vide est A :
∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A,
soit : l'ensemble vide est neutre pour la réunion ;
l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide :
∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅,
soit : l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection ;
le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même :
A ⊂ ∅ ⇔ A = ∅,
donc l'ensemble des parties de l'ensemble vide est un singleton, dont l'élément est l'ensemble vide : ;
le produit cartésien de A par l'ensemble vide est vide :
A × ∅ = ∅ × A = ∅,
soit : l'ensemble vide est absorbant pour le produit cartésien ;
si A est non vide, l'ensemble des applications de A dans l'ensemble vide est vide :
A ≠ ∅ ⇒ ∅ = ∅ ;
l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans A est un singleton, dont l'élément est l'« application vide de ∅ dans A » (de graphe ∅). Si on la note ∅, on a donc :
A = {∅}.
Par exemple, {0, 1} = {∅}, ce qui est cohérent avec l'égalité ci-dessus.
L'union d'une famille d'ensembles indexée par ∅ est égale à ∅.
L'intersection d'une famille d'ensembles indexée par ∅ n'est pas définie sans faire référence à un ensemble qui les contient tous. Auquel cas, elle est égale à ce dernier.
∅ est fini ; son cardinal est 0 : card(∅) = 0.
∅ admet une unique topologie, qui est {∅}. Elle est à la fois grossière (donc cet espace topologique est connexe) et discrète (donc cet espace est compact, comme tout espace fini discret).
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