Droite centrale

En géométrie, les droites centrales sont des droites spéciales lié à un triangle plan. Ces droites sont directement liées à un des centres du triangle, qui sert de base pour exprimer l'équation de la droite en coordonnées trilinéaires. Le concept de droite centrale a été introduit par Clark Kimberling dans un article de 1994 Soit ABC un triangle du plan et (x : y : z) les coordonnées trilinéaires d'un point arbitraire dans le même plan que le triangle ABC. Une droite dans le plan du triangle ABC dont l'équation en coordonnées trilinéaires est de la forme où le point de coordonnées trilinéaires (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c)) est un centre du triangle, est une droite centrale dans le plan du triangle ABC relativement au triangle ABC. La relation géométrique entre une droite centrale et son centre du triangle associé peut être exprimée avec les concepts de polaires trilinéaires et les conjugués isogonaux. Soit X = (u (a, b, c) : v (a, b, c) : w (a, b, c)) un centre du triangle. La droite dont l'équation est est la polaire trilinéaire de X. De plus, le point Y = (1 / u (a, b, c) : 1 / v (a, b, c) : 1 / w (a, b, c)) est le conjugué isogonal de X. Ainsi, la droite centrale donnée par l'équation est la polaire trilinéaire du conjugué isogonal du centre du triangle défini par les coordonnées trilinéaires (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c) ). Soit X un centre du triangle ABC. On trace les droites AX, BX et CX, ainsi que leurs images respectives par symétrie avec les bissectrices internes en A, B, C. Les droites images sont concourantes en Y, qui est par définition le conjugué isogonal de X. Les céviennes AY, BY et CY croisent les côtés opposés en A', B', C' respectivement. Le triangle A'B'C' est donc le triangle cévien de Y. Le triangle ABC et le triangle cévien A'B'C' sont homologiques ; soit DEF l'axe de l'homologie entre les deux triangles. La droite DEF est la polaire trilinéaire du point Y, et la droite centrale associée au centre du triangle X.