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Concept
Droite d'Euler
Résumé
vignette|Droite d'Euler en rouge, médianes en orange, médiatrices en vert, et hauteurs en bleu. Le point rouge est le centre du cercle d'Euler.
En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est une droite passant par plusieurs points remarquables du triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit.
Cette notion s'étend au quadrilatère et au tétraèdre.
Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral (ABC), l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés, et détermine les relations de proportionnalité entre les distances : HO = 3/2HG et GO = 1/2HG. La droite (HGO) passe également par le centre Ω du cercle des neuf points, milieu du segment [OH], ainsi que par d'autres points remarquables du triangle. Les quatre points H,G,O,Ω sont confondus pour un triangle équilatéral (et sinon, ils sont tous distincts).
Parmi les autres points remarquables, on peut citer le point de Longchamps, le point de Schiffler, le point d'Exeter et le perspecteur de Gossard.
En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit dans le triangle, sauf si celui-ci est isocèle. Dans ce cas, la droite d'Euler est l'axe de symétrie du triangle.
vignette|Cercle et droite d'Euler.|300x300px
La relation vectorielle d'Euler :
exprime à la fois l'alignement de et leur disposition mutuelle.
On note les angles aux sommets du triangle de référence, et on considère un point M de coordonnées trilinéaires (x : y : z). L'équation de la droite d'Euler s'écrit alors
En coordonnées barycentriques , l'équation s'écrit
On sait que le centre du cercle circonscrit a pour coordonnées trilinéaires et que celles de l'orthocentre sont . Ainsi, tout point de la droite d'Euler différent de l'orthocentre a pour coordonnées trilinéaires :
avec t réel.
Ainsi, on obtient :
le centre du cercle circonscrit pour t = 0,
le centre de gravité, de coordonnées , pour t = 1,
le centre du cercle d'Euler, de coordonnées , pour t = 2,
le point de Longchamps, de coordonnées , pour t = –1.
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