Complétion (algèbre)

En algèbre, une complétion est l'un des foncteurs sur les anneaux et les modules qui produit des anneaux topologiques et modules topologiques complets. La complétion est similaire à la localisation et, ensemble, ce sont des outils de base pour étudier les anneaux commutatifs. Les anneaux commutatifs complets ont une structure plus simple que les anneaux généraux, et on peut y appliquer le lemme de Hensel. En géométrie algébrique, la complétion de l'anneau R des fonctions au voisinage d'un point x d'un espace X donne un voisinage formel du point x : intuitivement, c'est un voisinage tellement petit que toutes les séries de Taylor centrées en ce point convergent. Une complétion algébrique est construite de manière analogue à la complétion d'un espace métrique avec des suites de Cauchy, et coïncide avec elle dans le cas où l'anneau a un métrique donnée par une valeur absolue non archimédéenne. On se donne un anneau commutatif A et un A-module E doté d'une suite décroissante de sous-modules (une filtration) : E = E0 ⊇ E1 ⊇ ··· ⊇ En ⊇ ··· On va considérer ces sous-modules En comme des voisinages de 0 ; par translation, les ensembles x + En sont des voisinages du point x . On a défini ainsi une topologie sur le module E pour laquelle il n'est pas forcément complet, ni séparé. On définit le séparé complété de E (relatif à cette filtration) comme la limite projective Ê du diagramme suivant : 0 = E/E ← E/E1 ← ··· ← E/En ← ··· Une façon d'interpréter cette limite revient à voir E/En comme une approximation de Ê « à En près ». La limite Ê est encore un module sur A et la limite des applications linéaires E → E/En est une application linéaire E → Ê. La topologie de Ê est la limite projective des topologies discrètes des quotients E/En et Ê est séparé et complet pour cette topologie. En effet, l'application E → Ê a pour noyau l'intersection des En, intersection des voisinages de zéro, ce qui fait que la topologie de Ê est séparée. Cette construction s'applique en particulier aux groupes commutatifs, qui sont des modules sur l'anneau Z des entiers, et aux espaces vectoriels.