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Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants
Résumé
En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci) est une équation polynomiale dont dépend la solution de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée.
Une telle équation différentielle d'ordre n, avec comme variable dépendante et comme constantes,
aura une équation caractéristique de degré n de la forme
dont les racines permettront de former la solution générale de l'équation différentielle.
Leonhard Euler a introduit l'équation caractéristique pour intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, étude prolongée par Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge.
On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants ,
on peut voir que si , chaque terme sera un multiple de par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle est un multiple d'elle-même. Par conséquent, , et sont toutes multiples de . On peut en déduire que certaines valeurs de , permettront à des multiples de d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène. Pour trouver les valeurs de , on peut remplacer et ses dérivées par et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :
Puisque ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique
En trouvant les racines de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle.
Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, , permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, racines réelles multiples et/ou racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales , , et , alors la solution générale de l'équation différentielle est
L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants
a pour équation caractéristique
En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :
On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle et les racines doubles complexes .
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