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Concept
Axiome de détermination
Résumé
L'axiome de détermination est un axiome alternatif de la théorie des ensembles affirmant que certains jeux (au sens de la théorie des jeux) infinis sont déterminés.
Cet axiome n'est pas compatible avec l'axiome du choix mais implique l'axiome du choix dénombrable pour les familles d'ensembles de réels et implique également une forme faible de l'hypothèse du continu.
Tout ensemble A de suites infinies d'entiers naturels définit le jeu JA suivant entre deux joueurs I et II :
I commence par choisir un entier naturel a0, puis II réplique en choisissant un autre entier naturel b0, puis I choisit encore un autre entier naturel a1, II réplique de nouveau par le choix d'un entier naturel b1 et ainsi de suite. Chaque joueur a connaissance des coups joués par son adversaire. Si la suite résultante (a0, b0, a1, b1, ...) est dans A alors I gagne la partie, sinon II gagne la partie.
Une stratégie pour le joueur I est une application définie sur l'ensemble des suites finies d'entiers constituées d'un nombre pair de termes (y compris la suite vide), à valeurs entières. Si les coups (a0, b0, a1, b1, ..., an, bn) ont été successivement joués par les deux joueurs, alors l'entier indique au joueur I quel est le prochain coup à jouer en suivant la stratégie .
On définit de même ce qu'est une stratégie pour le joueur II, l'application étant cette fois définie sur l'ensemble des suites finies d'entiers constituées d'un nombre impair de termes. Si les deux joueurs adoptent une stratégie, alors la suite des coups est unique, définie par l'utilisation alternative des deux stratégies. On dit que la stratégie adoptée par le joueur I est gagnante si, pour toute stratégie adoptée par le joueur II, la suite définie par l'utilisation des deux stratégies appartient à A. Ainsi, le joueur I est certain de gagner, quels que soient les coups joués par son adversaire. On définit symétriquement ce qu'est une stratégie gagnante pour le joueur II.
Le jeu JA est dit déterminé si l'un des deux joueurs a une stratégie gagnante.
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