Concept
Catégorie homotopique des complexes de chaînes
Concepts associés (7)
Mapping cone (homological algebra)
In homological algebra, the mapping cone is a construction on a map of chain complexes inspired by the analogous construction in topology. In the theory of triangulated categories it is a kind of combined and cokernel: if the chain complexes take their terms in an , so that we can talk about cohomology, then the cone of a map f being acyclic means that the map is a quasi-isomorphism; if we pass to the of complexes, this means that f is an isomorphism there, which recalls the familiar property of maps of groups, modules over a ring, or elements of an arbitrary abelian category that if the kernel and cokernel both vanish, then the map is an isomorphism.
Catégorie triangulée
En mathématiques, une catégorie triangulée est une catégorie dotée d'une structure supplémentaire. De telles catégories ont été suggérées par Alexander Grothendieck et développées par Jean-Louis Verdier dans sa thèse de 1963 pour traiter les catégories dérivées. La notion de t-structure, qui y est directement liée, permet de reconstruire (en un sens partiel) une catégorie à partir d'une catégorie dérivée.
Homologie singulière
En topologie algébrique, l'homologie singulière est une construction qui permet d'associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association est un invariant topologique non complet, c'est-à-dire que si deux espaces sont homéomorphes alors ils ont mêmes groupes d'homologie singulière en chaque degré mais que la réciproque est fausse. Le théorème de Stokes appliqué à des formes fermées donne des intégrales nulles. Cependant, il se fonde sur une hypothèse cruciale de compacité.
Catégorie dérivée
La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 41⁄2, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés. Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.
Homological algebra
Homological algebra is the branch of mathematics that studies homology in a general algebraic setting. It is a relatively young discipline, whose origins can be traced to investigations in combinatorial topology (a precursor to algebraic topology) and abstract algebra (theory of modules and syzygies) at the end of the 19th century, chiefly by Henri Poincaré and David Hilbert. Homological algebra is the study of homological functors and the intricate algebraic structures that they entail; its development was closely intertwined with the emergence of .
Cohomology
In mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.
Complexe différentiel
En mathématiques, un complexe différentiel est un groupe abélien (voire un module), ou plus généralement un objet d'une catégorie abélienne, muni d'un endomorphisme de carré nul (appelé différentielle ou bord), c'est-à-dire dont l' est contenue dans le noyau. Cette condition permet de définir son homologie, qui constitue un invariant essentiel en topologie algébrique. Un complexe différentiel peut être gradué pour constituer un complexe de chaines ou de cochaines).