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Concept
Indépendance linéaire
Résumé
En algèbre linéaire, étant donné une famille de vecteurs d'un même espace vectoriel, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres.
Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.
Soient E un espace vectoriel et K son corps des scalaires.
Une famille (finie ou infinie) de vecteurs de E est dite libre, ou encore, la famille est constituée de vecteurs , si la seule combinaison linéaire des vecteurs égale au vecteur nul 0 est celle dont tous les coefficients sont nuls (autrement dit : si toute combinaison linéaire des à coefficients non tous nuls est différente du vecteur nul).
Lorsqu'il s'agit d'une famille finie , cette condition s'écrit :
Lorsque la famille est quelconque (finie ou pas), la condition s'écrit :où un élément de K est une famille, indexée par I, de scalaires tous nuls sauf un nombre fini.
Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants, ou encore la famille est dite liée. Ainsi, est une famille de vecteurs liée s'il existe une famille d'éléments de K tous nuls sauf un nombre fini non nul, telle que
À partir des notions de famille libre ou liée, on définit celles de partie libre ou liée : une partie A de E est dite libre (resp. liée) si la famille l'est.
Dans l'espace vectoriel R, les trois vecteurs (2, –1, 1), (1, 0, 1) et (3, –1, 2) forment une famille liée car (2, –1, 1) + (1, 0, 1) – (3, –1, 2) = (0, 0, 0).
Dans l'espace vectoriel R, les trois vecteurs (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) et (6, 2, 4, –3) sont linéairement indépendants car leurs coordonnées, disposées en colonnes juxtaposées, forment une matrice
dont le rang est égal au nombre de vecteurs. En effet le 3-mineur
est non nul donc le rang de la matrice est 3.
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