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Concept
Système d'équations linéaires
Résumé
En mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple :
Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément.
La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique. Un moyen efficace de résoudre un système d'équations linéaires est donné par l'élimination de Gauss-Jordan ou par la décomposition de Cholesky ou encore par la décomposition LU. Dans les cas simples, la règle de Cramer peut également être appliquée.
En général, un système de m équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :
Où sont les inconnues et les nombres sont les coefficients du système.
Exemple
Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues est un système de la forme
Résoudre , c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.
Un système d'équations linéaires peut aussi s'écrire sous la forme matricielle :
avec :
Un système de la forme :
est appelé système d'équations linéaires homogènes. Tous les systèmes homogènes admettent au moins une solution :
Cette solution est la solution nulle ou triviale.
Si le corps est infini (comme c'est le cas pour les nombres réels et pour les nombres complexes) alors seulement les trois cas suivants sont possibles pour n'importe quel système donné d'équations linéaires à n inconnues :
le système n'a pas de solution (pour un système homogène, ce cas est impossible) ;
le système a un unique n-uplet solution ;
le système a une infinité de n-uplets solutions (pour un système homogène comportant strictement moins de n équations, on est toujours dans ce ).
Source officielle
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