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Concept
Loi log-normale
Résumé
En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance .
Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel.
Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants.
La loi log-normale de paramètres et admet pour densité de probabilité
pour .
Les paramètres et sont l'espérance et l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale d'espérance et d'écart-type ).
Par intégration de la fonction de densité, il vient que la fonction de répartition s'exprime en fonction de la fonction d'erreur erf :
Tous les moments existent et sont donnés par :
L'espérance est
et la variance est
Des relations équivalentes permettent d'obtenir et étant données l'espérance et l'écart-type :
où est une variable normale quelconque de variance .
Pour deux variables log-normales, les relations sont indiquées dans le contexte multidimensionnel ci-dessous.
Il suffit de dériver la densité de la loi log-normale pour vérifier les résultats suivants :
En x = 0, la singularité de la densité n’est qu’apparente car elle satisfait
La fonction peut ainsi être prolongée en 0 de manière continue en lui attribuant la valeur 0.
Lorsque la valeur du mode est très faible ( et comme dans le cartouche ci-dessus), le graphe de la densité semble diverger en 0, ce qui n’est formellement pas le cas.
Comme l’indique son mode, la densité admet un maximum en où sa valeur atteint
Un vecteur aléatoire est dit suivre une loi log-normale multidimensionnelle de paramètres et si le vecteur (composante par composante) suit une loi normale multidimensionnelle dont le vecteur des espérances est et la matrice de covariance est .
Cette loi est habituellement notée .
Source officielle
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