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Concept
Loi de Pareto
Résumé
En théorie des probabilités, la loi de Pareto, d'après Vilfredo Pareto, est un type particulier de loi de puissance qui a des applications en sciences physiques et sociales. Elle permet notamment de donner une base théorique au « principe des 80-20 », aussi appelé principe de Pareto.
Soit la variable aléatoire X qui suit une loi de Pareto de paramètres (x,k), avec k un réel positif, alors la loi est caractérisée par :
Les lois de Pareto sont des lois continues. La loi de Zipf, et son cas limite, la loi zêta, peuvent être considérées comme l'équivalent discret de la loi de Pareto.
Il suit, de la définition donnée précédemment, que la densité de probabilité de X vérifie : pour
Le paramètre k est souvent nommé indice de Pareto.
Le quantile d'ordre d'une variable aléatoire distribuée selon une loi de Pareto de paramètres est donné par :
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi de Pareto est
(si k ≤ 1, l'espérance est infinie).
Sa variance est
(De nouveau : si k ≤ 2, la variance est infinie).
Les moments d'ordre supérieur sont donnés par :
mais ils ne sont définis que pour .
Cela signifie que la fonction génératrice (la série de Taylor en où les sont pris pour coefficients) n'est pas définie. Cette propriété est vraie en général pour les variables aléatoires présentant une « longue traîne ».
La fonction caractéristique est donnée par :
où Γ(a,x) est la fonction gamma incomplète .
La loi de Pareto est reliée à la loi exponentielle par :
La loi de Dirac est un cas limite de la loi de Pareto :
La loi de Pareto est à longue traîne, ce qui signifie que :
.
Par exemple, si X est le temps de vie d'un composant, plus il a vécu (X > x) plus il a de chances de vivre longtemps : le système rajeunit.
On peut pallier l'inconvénient « longue traîne » dans d'autres applications des lois de Pareto telles que la loi par taille des entreprises exprimée en nombre d'employés ou en chiffre d'affaires ou d'autres entités mesurables par taille dont la limite théorique est infinie en utilisant une échelle log-log après transformations appropriées des données analysées.
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