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Concept
Loi de Weibull
Résumé
En théorie des probabilités, la loi de Weibull, nommée d'après Waloddi Weibull en 1951, est une loi de probabilité continue.
La loi de Weibull est un cas spécial de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Fréchet.
Avec deux paramètres (pour x > 0), la densité de probabilité est :
où
k > 0 est le paramètre de forme et
λ > 0 le paramètre d'échelle de la distribution.
Sa fonction de survie est définie par
et sa fonction de répartition complémentaire de défaillance est définie par
Avec trois paramètres (loi généralisée, domaine x>θ), sa densité de probabilité est :
pour x ≥ θ et f(x ; k, λ, θ) = 0 pour x < θ,
où est le paramètre de forme, λ > 0 est le paramètre d'échelle et θ est le paramètre de position de la distribution.
Sa fonction de répartition est définie par :
Le coefficient d'asymétrie est donné par :
Le kurtosis non normalisé est donné par :
Le taux de panne h est donné par :
La loi d'extremum généralisée de type est un retournement de la loi de Weibull. Son domaine est x ≤ θ . Sa fonction de répartition est définie par :
Si , alors .
Si , alors .
Si , alors
L'expression loi de Weibull recouvre en fait toute une famille de lois, certaines d'entre elles apparaissant en physique comme conséquence de certaines hypothèses. C'est, en particulier, le cas de la loi exponentielle ( = 1) et de la loi de Rayleigh ( = 2) importantes en matière de processus stochastique.
Ces lois constituent surtout des approximations particulièrement utiles dans des techniques diverses alors qu'il serait très difficile et sans grand intérêt de justifier une forme particulière de loi. De ce point de vue elles sont analogues à la loi normale qui remplace efficacement des distributions (presque) symétriques. Une distribution à valeurs positives (ou, plus généralement mais moins fréquemment, à valeurs supérieures à une valeur donnée) a presque toujours la même allure. Elle part d'une fréquence d'apparition nulle, croît jusqu'à un maximum et décroît plus lentement.
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